Publications by Juan Sosa PhD
Posterior updating using Dirichlet Process priors
1 Posterior distribution If \(y_i\mid G \stackrel{\text{iid}}{\sim}G\), for \(i=1,\ldots,n\), with \(G\sim\textsf{DP}(\alpha,G_0)\), then the posterior distribution of \(G\) is a \(\textsf{DP}(\alpha^*,G_0^*)\) with \[ \alpha^* = \alpha + n \qquad\text{and}\qquad G_0^*(\cdot) = \frac{\alpha}{\alpha + n}G_0(\cdot) + \frac{n}{\alpha + n}G_n(\c...
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Pólya urn characterization of the DP
1 Pólya urn scheme The Pólya urn scheme can be seen as a discrete-time analog to the Dirichlet process, providing an intuitive way to understand how the Dirichlet process (DP) generates samples. Consider a precision parameter \(\alpha\) and a baseline distribution \(G_0\): Initialization: Start with an empty urn. Process: Draw a value from \...
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Bayesian nonparametrics: Introduction and motivation
1 Introduction Prerequisites Properties of the Dirichlet distribution. Bayesian parametric inference, including hierarchical modeling. Simulation-based inference using Markov chain Monte Carlo. Basic concepts of measure theory and stochastic processes. Parametric Bayes Let \(\mathcal{X}\) be the sample space of a random variable \(x\) such that...
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Constructive definition of the Dirichlet Process
1 Constructive definition Consider a Dirichlet Process (DP) with concentration parameter \(\alpha\) and baseline distribution \(G_0\). Let \(z_1,z_2,\ldots\) and \(\vartheta_1,\vartheta_2.\ldots\) are independent sequences of independent and identically distributed (i.i.d.) random variables such that \[ z_r\sim\textsf{Beta}(1,\alpha)\,,\quad ...
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Bayesian nonparametrics: Introduction and motivation
1 Introduction Prerequisites Properties of the Dirichlet distribution. Bayesian parametric inference, including hierarchical modeling. Simulation-based inference using Markov chain Monte Carlo. Basic concepts of measure theory and stochastic processes. Parametric Bayes Let \(\mathcal{X}\) be the sample space of a random variable \(x\) such that...
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Intervalos de confianza
1 Introducción Sea \(X_1,\ldots,X_n\) una muestra aleatoria de una población \(X\) con función de densidad (masa) \(f_X(x;\theta)\), con \(\theta\in\Theta\subset\mathbb{R}\), y \(T = T(X_1,\ldots,X_n)\) un estimador de \(r(\theta)\). Entonces, \[ \textsf{P}\left(T = r(\theta)\right) = 0\,. \] En la estimación por intervalo para \(r(\theta)...
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2. Distribuciones muestrales asociadas con la Normal
1 Introducción La distribución muestral de un estadístico depende de la distribución poblacional de la que se toma la muestra aleatoria. A continuación se estudian algunos estadísticos que se basan en una muestra aleatoria extraída de una distribución Normal. (Teorema.) Si \(X_1,\ldots,X_n\) es una colección de variables aleatorias inde...
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Evaluación de estimadores
1 Introducción Es posible tener disponibles varios estimadores para un mismo parámetro. ¿Qué hace un estimador “mejor” que otro? Se estudian las propiedades más relevantes los estimadores puntuales: Insesgamiento. Consistencia. Suficiencia. Variabilidad. 2 Insesgamiento (Definición). Sea \(X_1,\ldots,X_n\) una muestra aleatoria de un...
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Convergencia de variables aleatorias
1 Introducción Estudiar la convergencia de una sucesión de variables aleatorias \(X_1,X_2,\ldots\) definidas sobre el mismo espacio de probabilidad \((\Omega,\mathcal{F},\textsf{P})\) es fundamental para derivar las propiedades de los estadísticos cuando crece el tamaño de la muestra. 2 Convergencia casi segura (Definición.) Se dice que ...
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Convergencia de variables aleatorias
1 Introducción Estudiar la convergencia de una sucesión de variables aleatorias \(X_1,X_2,\ldots\) definidas sobre el mismo espacio de probabilidad \((\Omega,\mathcal{F},\textsf{P})\) es fundamental para derivar las propiedades de los estadísticos cuando crece el tamaño de la muestra. 2 Convergencia casi segura (Definición.) Se dice que ...
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